Вимоги до коду програми

  1. Охайне форматування: відступи, осмислені назви функцій, змінних і констант.
  2. Модульність: обчислення виконуються в окремих функціях.
  3. Загальність: відсутність «магічних» констант, введення параметрів задачі з клавіатури або файлу.
  4. Код прокоментовано.

Вимоги до звіту

  1. Короткі теоретичні відомості.
  2. Умова задачі.
  3. Лістинг коду.
  4. Результати роботи: графіки результатів розрахунку, порівняння з аналітичним розрахунком (за можливості).
  5. Висновки: аналіз отриманих результатів (пояснення якості збіжності чисельних і аналітичних розрахунків), обговорення точності та ефективності використаних методів.
  6. В кожному завданні проаналізувати залежність величини інтегралу кроку від методів і кроку інтегрування.

Завдання

Група 1

  1. Обчислити інтеграл $$\int\limits_0^1 e^x \ln (1+x^2) dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями \(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  2. Обчислити інтеграл $$I(a,b) = \int\limits_0^4 \dfrac{\cos 2x}{1+ax+bx^3}dx$$ при \(a, b \in [1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4]\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.04\).
  3. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0.1; 1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_{0.1}^x \dfrac{\ln t}{1-t^2} dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  4. Обчислити інтеграл $$ \int\limits_0^1 \ln \left( \cos \dfrac{\pi x}{10} + 1\right) dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями\(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  5. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0; 1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^x \dfrac{t^2 + 1}{t^4 + t^2 + 1}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  6. Обчислити інтеграл $$ \int\limits_0^1 e^{ax} (1+x^2) \dfrac{\sin x}{x+2}dx$$ при значеннях параметру \(a\) 0.019, 0.127, 0.346, 0.417, 0.527, 0.696, користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.001\).
  7. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0; 1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^x \sqrt[3]{t-t^3}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  8. Обчислити інтеграл $$I(a) = \int\limits_0^1 e^{ax}(1+x) \dfrac{\cos x}{x+1}dx$$ при 5 значеннях параметру \(a\) від 0.02 до 0.7, користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.001\).
  9. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0; 1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_0^x e^{t^2}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  10. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^1 \dfrac{\cos x}{0.02x^3 + 3.12x^2 + 0.7a}dx$$  при \(a = 6.3;\ldots 7.4\) з інтервалом 0.1, користуючись формулою Сімпсона для досягнення точності \(\epsilon = 10^{-4}\).
  11. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_0^x \dfrac{t}{\ln (1 + t)}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  12. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_0^x \dfrac{\sin t}{t}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  13. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_0^x (e^t – 1) \ln \dfrac{1}{t} dt. $$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  14. Обчислити інтеграл $$\int\limits_1^2 \sqrt{\dfrac{1}{x} + 1 + 2x + x^2}  dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями \(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-6}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  15. Обчислити інтеграл $$ I(t) = \int\limits_0^t e^{0.1x} (tx^2 + 1)^2 \dfrac{\sin(0.2x)}{2+x}dx$$ при \(t \in [0;1]\) з кроком \(h_t = 0.1\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h_x = 0.01\).
  16. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0.5;1.5]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_{0.5}^x \dfrac{\ln t}{t-1}dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  17. Обчислити інтеграл $$\int\limits_0^4 \sinh x \sin 3x dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями \(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-6}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  18. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$ \phi(x) = \int\limits_{0.5}^x \dfrac{\ln (1 + t)}{1+t^2} dx. $$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  19. Обчислити інтеграл $$ I = \int\limits_{1.8}^2 \ln \left(x \tan \dfrac{x}{\sqrt{10}}\right) dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями \(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  20. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^{x} \sqrt{3 + \cos t} dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  21. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^{x} \dfrac{\cos t}{5-4\cos t} dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  22. Обчислити інтеграл $$ I = \int\limits_0^1 e^x \ln (1 + x^2) dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями\(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  23. Обчислити інтеграл $$ I(a,b) = \int\limits_0^4 \dfrac{\cos 2x}{1 + ax+bx^3} dx$$ при \(a,b=1;,1.1;\ldots;1.4\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.04\).
  24. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^{x} \dfrac{\ln t}{1 – t^2} dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  25. Обчислити інтеграл $$\int\limits_0^1 \sqrt{1+x^4 + \tan \dfrac{x}{3}}  dx,$$ використовуючи формули прямокутників, трапецій та Сімпсона з точностями \(\epsilon = 10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-6}\). Для вибору кроку використати принцип Рунге.
  26. Обчислити значення функції \(\phi(x)\), \(x \in [0;1]\), з кроком \(h_x = 0.1\) і точністю \(\epsilon = 10^{-4}\), якщо $$\phi(x) = \int\limits_0^{x} e^{-0.1t}\tan\dfrac{t}{3} dt.$$ Точність оцінювати за допомогою принципу Рунге.
  27. Обчислити інтеграл $$I(a) = \int\limits_0^1 \dfrac{\tan x^3+1}{x^2+a}dx$$ при 11 значеннях параметру \(a\) від 0.1 до 1, користуючись формулою Сімпсона.
  28. Обчислити інтеграл $$I(a) = \int\limits_0^5 x^3 \sin a\sqrt{x}dx$$ при 11 значеннях параметру \(a\) від 0.1 до 1, користуючись формулою Сімпсона.

Група 2

  1. Обчислити інтеграл $$I(a) = \int\limits_0^\infty\dfrac{e^{-ax^2}}{a+x} dx$$ при значеннях параметру \(a\) від 0.1 до 1 з кроком 0.1, користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  2. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin ax}{a+x^2}dx$$ при \(a = 1;2;\ldots;10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h=0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності \(\epsilon \le 10^{-4}\).
  3. Обчислити інтеграл $$ I=\int\limits_0^1\int\limits_0^1 e^{-x^2-y^2} \dfrac{\sin^2 (xy) + 1}{\ln (1+x^2 y) + 2}dxdy,$$ користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.01\).
  4. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{e^{-x} + \sin x}{a+x^4} e^{-x^2} dx$$ при \(a = 1; 2; \ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  5. Обчислити інтеграл $$ I=\int\limits_0^1 \dfrac{\sin t}{t + 1}e^t \left( \int\limits_0^t \dfrac{\sin u}{u+2}du \right) dt,$$ користуючись формулою Сімпсона з кроками \(h_t = 0.1\), \(h_u = t/20\).
  6. Обчислити інтеграл $$ I (b) = \int\limits_{1.6}^b \ln \left( 1 + \cos \dfrac{\pi t}{10}\right) dt + \int\limits_b^{10} \sin\left(\cos\dfrac{\pi t}{20}\right) dt$$ при \(b = 1.6; 1.7;\ldots; 3.6\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h = 0.01\).
  7. Обчислити інтеграл $$ I = \int\limits_0^2 e^{0.1 z} (z^2 + 1) \left( \int\limits_0^z \dfrac{\sin(0.2t)}{t+2}dt\right)dz,$$ користуючись формулою Сімпсона з кроками \(h_z = 0.01\), \(h_t = 0.01z\).
  8. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{e^{-ax^2}}{a+x}dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  9. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\cos^2 ax}{1+x^2}dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  10. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty (x^2 + 3x \ln ax) e^{-ax}dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  11. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\ln ax}{1+x} e^{-ax}dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  12. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_1^\infty \dfrac{\ln ax}{1+x+ax^2} dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  13. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_1^\infty \dfrac{\ln^2 ax}{1+3x+ax^4} dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  14. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_1^\infty\sqrt{3x^3+x^2+1}e^{-ax} dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  15. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_1^\infty\sqrt{1 + x \ln (1+a x)}e^{-ax} dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.01\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  16. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin ax}{\sqrt{1+ax^4}}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 5\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  17. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin ax}{1 + \cosh x}dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1.0\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  18. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{5x^4+3x^2+2}{\cosh ax}dx$$ при \(a = 1; 2; \ldots; 10\) користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  19. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \sqrt{x \sin^2 ax+2}e^{-ax}dx$$ при \(a = 0.5; 0.2;\ldots; 1.5\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  20. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \sqrt{\dfrac{x^3+2}{x+1}}e^{-ax}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  21. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{a x^3}{x^2+1}e^{-ax}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  22. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin^2 ax}{ax^2+3x+1}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  23. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \cos 0.1x \dfrac{\ln (1+ax)}{x^2+1}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  24. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \dfrac{\ln^3 (1+ax)}{\cosh x+2}dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  25. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \ln^3(1+ax)e^{-ax} dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  26. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_1^\infty \dfrac{a \ln x}{1+ax^4} dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  27. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty (x^2-\sqrt{x}\sin x)e^{-ax} dx$$ при \(a = 1; 2;\ldots; 10\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.
  28. Обчислити інтеграл $$ I(a) = \int\limits_0^\infty \sqrt{1+x^3}e^{-ax^2} dx$$ при \(a = 0.1; 0.2;\ldots; 1\), користуючись формулою Сімпсона з кроком \(h= 0.001\). Верхню межу інтегрування обмежити із міркувань точності.